Anna Oliveira
Teorema de Tales é o tema desta apostila de Matemática para o 9º ano, desenvolvida para ajudar os estudantes a compreender as relações de proporcionalidade entre segmentos determinados por retas paralelas e transversais; essa atividade reúne 10 questões progressivas, com diagramas, problemas contextualizados e gabarito comentado, oferecendo ao professor um recurso pronto para usar, com tudo para sala de aula
As atividades exploram a identificação de segmentos correspondentes, a construção de proporções, o cálculo de medidas desconhecidas e a aplicação do Teorema de Tales em triângulos e situações cotidianas. Alinhado à habilidade EF09MA14 da BNCC, o material favorece o raciocínio geométrico, a resolução de problemas e a argumentação matemática, podendo ser utilizado em aulas, revisões e avaliações.
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Questões
Atividade 1 – Retas e proporções
Primeiros passos com o Teorema de Tales
Ideia-chave: Três retas paralelas cortadas por duas transversais formam segmentos correspondentes proporcionais.
Observe o esquema:
Três retas paralelas r, s e t são cortadas por duas transversais, formando os pontos A, B, C e D, E, F.
Medidas indicadas:
- AB = 4 cm
- BC = 6 cm
- DE = 6 cm
- EF = x cm
Investigue e responda:
a) Escreva a proporção entre os segmentos AB, BC, DE e EF.
b) Calcule o valor de x e registre os cálculos.
c) Por que é possível aplicar o Teorema de Tales nessa figura?
Atividade 2 – Razões em investigação
Como reconhecer segmentos proporcionais?
Para lembrar: Compare as razões entre os segmentos correspondentes. Elas precisam ter o mesmo valor.
Compare as medidas:
Três retas paralelas r, s e t são cortadas por duas transversais, formando os pontos A, B, C e D, E, F.
Medidas indicadas:
- AB = 3 cm
- BC = 5 cm
- DE = 6 cm
- EF = 10 cm
Analise e justifique:
a) Os segmentos indicados são proporcionais? Mostre as razões.
b) Se alguém registrasse EF = 9 cm, a medida seria compatível? Justifique.
c) Explique a importância do paralelismo das retas.
Atividade 3 – Encontre o valor de x
Aplicando proporções para descobrir medidas
Estratégia: Monte a igualdade entre as razões de segmentos correspondentes e resolva a equação.
Dois desafios de cálculo:
Figura 1:
- AB = 5 cm
- BC = 8 cm
- DE = 10 cm
- EF = x cm
Figura 2:
- AB = 6 cm
- BC = 9 cm
- DE = 4 cm
- EF = x cm
Resolva com atenção:
a) Determine x na figura 1. Apresente a equação.
b) Determine x na figura 2. Apresente a equação.
c) Por que as razões precisam comparar segmentos correspondentes?
Atividade 4 – As avenidas da cidade
O Teorema de Tales no planejamento urbano
Problema real: Três ruas paralelas são atravessadas por duas avenidas. As distâncias foram medidas ao longo de cada avenida.
Mapa esquemático das ruas:
As ruas R, S e T são paralelas. As avenidas 1 e 2 funcionam como transversais.
Medidas indicadas:
- Avenida 1, entre as ruas R e S: 120 m
- Avenida 1, entre as ruas S e T: 180 m
- Avenida 2, entre as ruas R e S: 80 m
- Avenida 2, entre as ruas S e T: x m
Interprete a situação:
a) Escreva a proporção que relaciona as quatro distâncias.
b) Calcule x, em metros, e mostre os cálculos.
c) Compare os trechos de 120 m e x m. São iguais? Justifique.
Atividade 5 – Tales no triângulo
Uma reta paralela a um dos lados
Nova aplicação: Se DE é paralela a BC em um triângulo ABC, então os lados cortados ficam divididos em partes proporcionais.
Observe o triângulo ABC:
No triângulo ABC, os pontos D e E pertencem, respectivamente, aos lados AB e AC, e DE é paralela a BC.
Medidas indicadas:
- AD = 6 cm
- DB = 3 cm
- AE = 8 cm
- EC = x cm
Raciocine e calcule:
a) Use AD/DB = AE/EC para encontrar x.
b) Qual é a medida total do lado AC?
c) Compare as razões AD/AB e AE/AC. O que você conclui?
Atividade 6 – Medindo pelas sombras
Semelhança em situações reais
Matemática ao ar livre: No mesmo instante, um poste de 2 m projeta uma sombra de 1,6 m. Uma árvore projeta uma sombra de 6 m.
Compare as sombras:
Medidas indicadas:
- Altura do poste: 2 m
- Sombra do poste: 1,6 m
- Sombra da árvore: 6 m
- Altura da árvore: h
Calcule e justifique:
a) Escreva uma proporção entre as alturas e as sombras.
b) Determine a altura da árvore. Mostre os cálculos.
c) Por que as duas sombras devem ser medidas no mesmo instante?
Atividade 7 – A passarela paralela
Semelhança de triângulos e razões
Projeto de engenharia: No triângulo ABC, a passarela DE é paralela à base BC. O desenho apresenta medidas dos trechos dos lados.
Analise o projeto:
Medidas indicadas:
- AD = 9 m
- DB = 6 m
- AE = 12 m
- EC = x m
- BC = 25 m
- DE é paralela a BC.
Investigue o triângulo:
a) Calcule x, sabendo que DE é paralela a BC.
b) Determine o comprimento da passarela DE.
c) Compare AD/AB e AE/AC. Qual é a relação?
Atividade 8 – As trilhas do parque
Medidas proporcionais num mapa
Orientação espacial: Três trilhas paralelas atravessam dois caminhos. As distâncias entre trilhas são medidas sobre cada caminho.
Mapa das trilhas:
Medidas indicadas:
- Caminho A, entre as trilhas 1 e 2: 60 m
- Caminho A, entre as trilhas 2 e 3: 90 m
- Caminho B, entre as trilhas 1 e 2: 40 m
- Caminho B, entre as trilhas 2 e 3: x m
Leia o mapa e resolva:
a) Monte a proporção entre os quatro trechos.
b) Calcule o valor de x, em metros.
c) Calcule o total dos caminhos A e B entre as trilhas 1 e 3.
Atividade 9 – A estrutura da ponte
Duas incógnitas em um triângulo
Desafio de geometria: Na estrutura triangular ABC, DE é paralela à base BC. Use as medidas indicadas para descobrir dois comprimentos.
Estrutura triangular:
Medidas indicadas:
- AD = 4 m
- DB = 6 m
- AE = 5 m
- EC = x m
- BC = 30 m
- DE é paralela a BC.
Encontre as medidas:
a) Encontre x aplicando o Teorema de Tales.
b) Calcule DE usando a semelhança dos triângulos.
c) Explique por que os triângulos ADE e ABC são semelhantes.
Atividade 10 – Um erro na proporção
Analisar, corrigir e argumentar
Investigação matemática: Três retas paralelas são cortadas por duas transversais. Um aluno montou uma proporção: confira se ela está correta.
Analise a resolução:
Medidas indicadas:
- AB = 4 cm
- BC = 6 cm
- DE = 10 cm
- EF = x cm
Um aluno escreveu:
4/6 = x/10
E obteve x = 6,67 cm.
Descubra e corrija:
a) A proporção proposta pelo aluno está correta? Justifique.
b) Escreva a proporção correta e determine x.
c) Se uma das retas deixasse de ser paralela, a igualdade ainda seria garantida?
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Habilidades trabalhadas
| Código | Descrição |
|---|---|
| EF09MA14 | Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes. |
Gabarito da atividade de Teorema de Tales
Gabarito – Atividade 1: Retas e proporções
a) AB/BC = DE/EF; portanto:
4/6 = 6/x.
b) Multiplicando em cruz:
4x = 36
x = 9 cm.
c) As três retas r, s e t são paralelas e cortadas por duas transversais. Essa configuração permite aplicar o Teorema de Tales.
Gabarito – Atividade 2: Razões em investigação
a) Sim. As razões são iguais:
3/5 = 6/10 = 0,6.
b) Não. Com EF = 9 cm, teríamos:
3/5 = 0,6, mas 6/9 = 2/3.
As razões seriam diferentes.
c) O paralelismo garante que os segmentos correspondentes determinados pelas transversais sejam proporcionais.
Gabarito – Atividade 3: Encontre o valor de x
a) Figura 1:
5/8 = 10/x
5x = 80
x = 16 cm.
b) Figura 2:
6/9 = 4/x
6x = 36
x = 6 cm.
c) Os trechos devem ocupar a mesma posição relativa entre as retas paralelas. Caso contrário, a proporção pode comparar segmentos que não são correspondentes.
Gabarito – Atividade 4: As avenidas da cidade
a) A proporção correta é:
120/180 = 80/x.
b) Multiplicando em cruz:
120x = 14.400
x = 120 m.
c) Sim. Ambos os trechos medem 120 metros, conforme o resultado da proporção.
Gabarito – Atividade 5: Tales no triângulo
a) Aplicando a proporção:
6/3 = 8/x
6x = 24
x = 4 cm.
b) AC = AE + EC
AC = 8 + 4
AC = 12 cm.
c) Calculando:
AD/AB = 6/9 = 2/3.
AE/AC = 8/12 = 2/3.
As razões são iguais, confirmando a proporcionalidade.
Gabarito – Atividade 6: Medindo pelas sombras
a) A proporção entre altura e sombra é:
2/1,6 = h/6.
b) Multiplicando em cruz:
1,6h = 12
h = 7,5 m.
c) Porque, no mesmo instante, os raios solares apresentam a mesma inclinação, considerando o mesmo terreno plano. Assim, os triângulos formados pelas alturas e sombras são semelhantes.
Gabarito – Atividade 7: A passarela paralela
a) Aplicando Tales:
9/6 = 12/x
9x = 72
x = 8 m.
b) Primeiro:
AB = 9 + 6 = 15 m.
Pela semelhança dos triângulos:
DE/25 = 9/15
15DE = 225
DE = 15 m.
c) Calculando:
AD/AB = 9/15 = 3/5.
AE/AC = 12/20 = 3/5.
As razões são iguais, pois os lados são proporcionais.
Gabarito – Atividade 8: As trilhas do parque
a) A proporção é:
60/90 = 40/x.
b) Multiplicando em cruz:
60x = 3.600
x = 60 m.
c) Somando os trechos:
Caminho A: 60 + 90 = 150 m.
Caminho B: 40 + 60 = 100 m.
Gabarito – Atividade 9: A estrutura da ponte
a) Aplicando Tales:
4/6 = 5/x
4x = 30
x = 7,5 m.
b) Inicialmente:
AB = 4 + 6 = 10 m.
Pela semelhança:
DE/30 = 4/10
10DE = 120
DE = 12 m.
c) Os triângulos ADE e ABC possuem o ângulo A em comum e os demais ângulos correspondentes iguais, porque DE é paralela a BC. Logo, são semelhantes pelo critério AA.
Gabarito – Atividade 10: Um erro na proporção
a) Não. Na proporção apresentada, x/10 inverte a ordem dos segmentos correspondentes. O aluno relacionou inadequadamente as medidas das transversais.
b) A proporção correta é:
4/6 = 10/x
4x = 60
x = 15 cm.
c) Não. Sem o paralelismo, o Teorema de Tales não garante a proporcionalidade dos segmentos.
