Anna Oliveira
A semelhança de triângulos é um dos conteúdos centrais da geometria no 9º ano, conectando o raciocínio proporcional a situações reais, como medir alturas usando sombras — método usado pelo matemático grego Tales de Mileto há mais de dois mil anos. Esta atividade guia os alunos por essa história e pelos critérios AA, LAL e LLL, unindo teoria e prática de forma acessível. Pronto para usar, com tudo para sala de aula.
Com 10 questões variadas — objetivas, discursivas, de associação, verdadeiro ou falso, completar e situações-problema com ilustrações —, a atividade estimula leitura, interpretação e aplicação do conteúdo, alinhada à habilidade EF09MA12 da BNCC. O arquivo já vem em formato Word, pronto para impressão, com espaço para identificação do aluno, linhas de resposta e gabarito completo ao final.
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Questões
TEXTO-BASE — A SOMBRA QUE MEDIU UMA PIRÂMIDE
Há mais de 2.500 anos, o matemático grego Tales de Mileto viajou ao Egito e se deparou com um desafio e tanto: como descobrir a altura da Grande Pirâmide sem escalá-la? Ele teve uma ideia genial. Esperou o momento do dia em que sua própria sombra tivesse exatamente o mesmo comprimento de sua altura. Nesse instante, mediu a sombra da pirâmide e concluiu que ela também deveria medir o mesmo que a altura da construção — afinal, os raios de sol formavam, ao mesmo tempo, triângulos com os mesmos ângulos: triângulos semelhantes.
Essa descoberta se tornou uma das ferramentas mais poderosas da Matemática: quando dois triângulos têm os mesmos ângulos, seus lados são proporcionais, mesmo que tenham tamanhos diferentes. Essa ideia, hoje chamada de semelhança de triângulos, é usada por engenheiros, arquitetos, topógrafos e até por quem calcula distâncias e alturas a partir de uma fotografia, sem precisar medir tudo diretamente.
Nesta atividade, você vai investigar essa mesma ideia usada por Tales há milênios — e descobrir como ela ainda é útil hoje.
Leia com atenção cada questão e responda no espaço indicado. Sempre que possível, mostre os cálculos utilizados.
1)(Objetiva) Duas figuras geométricas são consideradas semelhantes quando:
a) têm o mesmo tamanho e a mesma forma.
b) têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
c) têm o mesmo tamanho, mas formas diferentes.
d) têm lados de medidas iguais, mas ângulos diferentes.
2)(Verdadeiro ou Falso) Marque V para verdadeiro e F para falso:
( ) Dois triângulos são semelhantes quando todos os seus ângulos correspondentes são congruentes (iguais).
( ) Se dois triângulos são semelhantes, seus lados correspondentes têm, obrigatoriamente, a mesma medida.
( ) Em triângulos semelhantes, a razão entre lados correspondentes quaisquer é sempre a mesma — chamada razão de semelhança.
( ) Todo triângulo equilátero é semelhante a qualquer outro triângulo equilátero.
( ) Dois triângulos congruentes também podem ser considerados semelhantes.
3)(Complete as lacunas) Preencha os espaços com os critérios de semelhança corretos: AA (Ângulo-Ângulo), LAL (Lado-Ângulo-Lado), ou LLL (Lado-Lado-Lado).
Para afirmar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário verificar todos os seus elementos. Existem critérios que facilitam essa análise. No critério _______________ , basta que dois ângulos de um triângulo sejam congruentes a dois ângulos do outro. Já no critério _______________, dois lados proporcionais e o ângulo formado entre eles devem ser congruentes. Por fim, no critério _______________ , os três lados de um triângulo devem ser proporcionais aos três lados do outro.
4)(Associe as colunas) Escreva, entre parênteses, o número do critério de semelhança correspondente a cada descrição.
Coluna A
1. AA (Ângulo-Ângulo)
2. LAL (Lado-Ângulo-Lado)
3. LLL (Lado-Lado-Lado)
Coluna B
( ) Três pares de lados proporcionais entre os dois triângulos.
( ) Dois pares de ângulos correspondentes congruentes.
( ) Dois lados proporcionais e o ângulo formado entre eles congruente.
5)(Análise textual) Releia o texto-base e responda:
a)Qual foi o desafio enfrentado por Tales de Mileto no Egito?
b)Que estratégia ele utilizou para medir a altura da pirâmide sem escalá-la?
c)Por que essa estratégia funciona do ponto de vista matemático? Explique com suas palavras.
6)(Aplicação) Observe os triângulos semelhantes ABC e DEF representados abaixo. Sabendo que o triângulo DEF é uma ampliação do triângulo ABC, calcule o valor de x (medida do lado EF). Mostre os cálculos.
7)(Situação-problema) Em um dia ensolarado, um estudante quis descobrir a altura de um poste usando semelhança de triângulos. Ele mediu sua própria altura (1,5 m) e o comprimento da sombra que projetava naquele momento (1 m). Em seguida, mediu a sombra do poste, que media 6 m, como mostra a imagem a seguir.
a)Monte a proporção entre as medidas da pessoa e do poste.
b)Calcule a altura do poste (H), mostrando o cálculo completo.
8)(Objetiva) Observe os ângulos internos dos triângulos P, Q e R na imagem a seguir.
Com base no critério AA (Ângulo-Ângulo), assinale a alternativa que indica corretamente o par de triângulos semelhantes:
a) P e Q
b) P e R
c) Q e R
d) Nenhum par é semelhante, pois todos têm ângulos diferentes.
9)(Discursiva) Muitas pessoas confundem triângulos semelhantes com triângulos congruentes. Explique, com suas palavras, a diferença entre esses dois conceitos e dê um exemplo do cotidiano em que a semelhança (e não a congruência) é mais útil.
10)(Desafio) Marcos afirmou: "Se dois triângulos têm um ângulo de 90° cada um, então eles com certeza são semelhantes." Você concorda com a afirmação de Marcos? Justifique sua resposta utilizando os critérios de semelhança estudados nesta atividade.
Habilidades trabalhadas
| Código | Descrição |
|---|---|
| EF09MA12 | Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Tales, envolvendo medidas de segmentos e semelhança de triângulos. |
Gabarito da atividade de semelhança de triângulos
Atividade 1: Alternativa (b) — têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Atividade 2: V, F, V, V, V. (A 2ª afirmação é falsa porque lados correspondentes são proporcionais, não necessariamente iguais.)
Atividade 3: Na ordem: AA, LAL, LLL.
Atividade 4: ( 3 ) para a 1ª frase (LLL) — ( 1 ) para a 2ª frase (AA) — ( 2 ) para a 3ª frase (LAL).
Atividade 5: a) Descobrir a altura da Grande Pirâmide sem escalá-la. b) Ele esperou o momento em que sua sombra tinha o mesmo comprimento de sua altura e, nesse instante, mediu a sombra da pirâmide. c) Resposta pessoal — o professor deve observar se o aluno relaciona o fato de os raios solares formarem, no mesmo instante, triângulos com os mesmos ângulos (semelhantes), tornando os lados proporcionais entre pessoa/sombra e pirâmide/sombra.
Atividade 6: Razão de semelhança = 8 ÷ 4 = 2. Logo, x = 3 × 2 = 6 cm.
Atividade 7: a) 1,5/1 = H/6. b) H = (1,5 × 6) ÷ 1 = 9 m.
Atividade 8: Alternativa (a) — P e Q, pois possuem os três ângulos iguais (50°, 60° e 70°), atendendo ao critério AA.
Atividade 9: Resposta pessoal — o professor deve observar se o aluno indica que triângulos congruentes têm mesma forma E mesmo tamanho (lados e ângulos idênticos), enquanto semelhantes têm mesma forma, mas tamanhos podem ser diferentes (lados proporcionais). Exemplos válidos: mapas, fotografias ampliadas/reduzidas, maquetes, plantas de casas.
Atividade 10: Resposta pessoal — espera-se que o aluno discorde de Marcos, justificando que apenas um ângulo igual (90°) não garante semelhança: é preciso que pelo menos DOIS ângulos correspondentes sejam congruentes (critério AA). Dois triângulos retângulos podem ter formatos bem diferentes.
