Anna Oliveira
Confira a atividade sobre Problemas com Equações, elaborada para o 9º ano do Ensino Fundamental, com gabarito e alinhada à BNCC. Pronta para usar, com tudo para sala de aula.
Nesta atividade, os alunos irão compreender como situações do cotidiano podem ser representadas por equações polinomiais do 2º grau, explorando estratégias de resolução por fatoração, produtos notáveis e análise das soluções encontradas. As questões estimulam o raciocínio algébrico, a interpretação de problemas, a criação de situações matemáticas e a reflexão sobre respostas que fazem ou não sentido no contexto apresentado. As propostas foram elaboradas de forma criativa e contextualizada, aproximando o estudo das equações de situações reais, como projetos escolares, áreas, vendas, construções e desafios matemáticos.
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Questões
- Uma escola vai pintar um mural quadrado no pátio. Ao redor do mural, será colocada uma moldura de 2 metros em cada lado. A área total, contando o mural e a moldura, será de 196 m².
Considere x a medida do lado do mural sem a moldura.
a) Escreva a equação que representa essa situação.
b) Resolva a equação.
c) Qual será a medida do lado do mural sem a moldura?
- Em uma feira de ciências, os alunos montaram uma área retangular para exposição. A largura mede x metros, e o comprimento mede 5 metros a mais que a largura. A área total do espaço é de 150 m².
a) Represente o comprimento usando uma expressão algébrica.
b) Monte a equação do 2º grau correspondente.
c) Fatore a equação.
d) Determine as medidas da largura e do comprimento.
- Duas placas quadradas serão usadas em uma decoração. A placa maior tem lado 3 cm maior que a placa menor. A diferença entre as áreas das duas placas é de 57 cm².
Qual é a medida do lado da placa menor?
a) 6 cm b) 8 cm c) 9 cm d) 12 cm
- Em um jogo de escape matemático, uma porta só abre quando o jogador encontra o número que satisfaz a equação: x² - 12x + 36 = 0
a) Fatore a expressão do primeiro membro.
b) Explique por que essa equação possui apenas uma solução.
c) Qual número abre a porta?
- Crie um problema do cotidiano que possa ser representado pela equação: x² - 9x + 20 = 0
Depois, resolva a equação e explique o significado das soluções dentro do problema criado.
- Uma horta escolar terá formato retangular. A largura mede x metros, e o comprimento mede o dobro da largura mais 4 metros. A área total da horta será de 96 m².
Qual é a largura da horta?
a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 12 m
- Uma turma está vendendo camisetas para arrecadar dinheiro. Os alunos perceberam que, se venderem x camisetas, o preço de cada uma poderá ser representado por 30 - x reais. Em determinado dia, a arrecadação foi de R$ 216,00.
a) Escreva a equação que representa a arrecadação.
b) Transforme essa equação em uma equação do 2º grau igualada a zero.
c) Fatore a equação.
d) Quantas camisetas podem ter sido vendidas?
e) Explique por que há duas respostas possíveis nesse caso.
- Um grupo de alunos vai construir um tapete geométrico para uma apresentação. O tapete terá formato retangular, com largura x metros e comprimento 7 metros maior que a largura. A área total será de 120 m².
a) Monte a equação que representa o problema.
b) Resolva a equação por fatoração.
c) Quais serão as dimensões do tapete?
d) Por que uma das soluções da equação deve ser descartada?
- Uma folha retangular de papelão mede 20 cm por 16 cm. Para montar uma caixinha aberta, serão recortados quadrados de lado x em cada canto. Depois dos recortes, a área da base da caixa será de 96 cm².
A equação que representa a área da base é:
(20 - 2x)(16 - 2x) = 96
Qual deve ser a medida de x?
a) 2 cm b) 4 cm c) 8 cm d) 14 cm
- Observe a resolução feita por um estudante:
x² - 10x + 25 = 49
(x - 5)² = 49
x - 5 = 7
x = 12
a) A fatoração feita pelo estudante está correta?
b) O erro está em qual etapa da resolução?
c) Resolva corretamente a equação.
d) Em um problema envolvendo medida de comprimento, qual solução poderia ser descartada? Explique.
Habilidades trabalhadas
| Código | Descrição |
|---|---|
| EF09MA09 | Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau. |
Gabarito da atividade de problemas com equações
Atividade 1:
a) Como há moldura de 2 m em cada lado, o lado total será x + 4.
Equação: (x + 4)² = 196.
b) x + 4 = 14
x = 10
c) O lado do mural sem a moldura será 10 m.
Atividade 2:
a) Comprimento: x + 5.
b) x(x + 5) = 150.
c) x² + 5x - 150 = 0
Fatorando: (x + 15)(x - 10) = 0.
d) x = 10 ou x = -15. Como medida negativa não serve, a largura é 10 m e o comprimento é 15 m.
Atividade 3:
Alternativa correta: b) 8 cm.
Resolução:
(x + 3)² - x² = 57
x² + 6x + 9 - x² = 57
6x + 9 = 57
6x = 48
x = 8.
Atividade 4:
a) x² - 12x + 36 = (x - 6)².
b) A equação possui apenas uma solução porque é um quadrado perfeito igual a zero: (x - 6)² = 0.
c) O número é 6.
Atividade 5:
Resposta pessoal. O estudante deve criar uma situação que resulte em x² - 9x + 20 = 0.
Resolução esperada:
x² - 9x + 20 = 0
(x - 4)(x - 5) = 0
x = 4 ou x = 5.
As soluções devem fazer sentido dentro do contexto criado.
Atividade 6:
Alternativa correta: b) 6 m.
Resolução:
x(2x + 4) = 96
2x² + 4x = 96
x² + 2x - 48 = 0
(x + 8)(x - 6) = 0
x = 6 ou x = -8.
Como medida negativa não serve, a largura é 6 m.
Atividade 7:
a) x(30 - x) = 216.
b) 30x - x² = 216
x² - 30x + 216 = 0.
c) (x - 12)(x - 18) = 0.
d) Podem ter sido vendidas 12 ou 18 camisetas.
e) Há duas respostas possíveis porque combinações diferentes de quantidade e preço podem gerar a mesma arrecadação.
Atividade 8:
a) x(x + 7) = 120.
b) x² + 7x - 120 = 0
(x + 15)(x - 8) = 0.
c) x = 8 ou x = -15. Como medida negativa não serve, a largura será 8 m e o comprimento será 15 m.
d) A solução negativa deve ser descartada porque medidas de comprimento não podem ser negativas.
Atividade 9:
Alternativa correta: b) 4 cm.
Resolução:
(20 - 2x)(16 - 2x) = 96
320 - 40x - 32x + 4x² = 96
4x² - 72x + 224 = 0
x² - 18x + 56 = 0
(x - 4)(x - 14) = 0
x = 4 ou x = 14.
Como o recorte não pode ser maior que metade da largura da folha, x = 14 não serve. Logo, x = 4 cm.
Atividade 10:
a) Sim, a fatoração está correta: x² - 10x + 25 = (x - 5)².
b) O erro está ao resolver (x - 5)² = 49 considerando apenas x - 5 = 7. Também é possível x - 5 = -7.
c)
x - 5 = 7 → x = 12
x - 5 = -7 → x = -2
Soluções: x = 12 ou x = -2.
d) Em um problema de comprimento, a solução -2 deve ser descartada, pois não existe medida negativa nesse contexto.
