Anna Oliveira
Confira a atividade de Matemática sobre logaritmos, elaborada para o Ensino Médio, com gabarito e alinhada à BNCC, pronta com tudo para sala de aula.
O objetivo desta proposta é desenvolver a compreensão dos logaritmos, suas propriedades fundamentais e aplicações práticas em diferentes contextos do cotidiano. Entre eles, destacam-se situações como a medição da intensidade de terremotos pela escala Richter, a determinação do pH em soluções químicas, a análise de decaimento radioativo e os cálculos de Matemática Financeira, como os juros compostos.
Além disso, a atividade incentiva os estudantes a explorar a relação entre funções exponenciais e logarítmicas, identificando características como domínio, imagem e crescimento, tanto de forma algébrica quanto gráfica. Dessa forma, promove não apenas a prática de cálculos, mas também a interpretação crítica das situações-problema, reforçando a importância dos logaritmos na modelagem e na compreensão de diferentes grandezas que variam de maneira exponencial.
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Questões
1) Calcule os logaritmos abaixo:
a) \(\log_{2}(32)\)
b) \(\log_{10}(1000)\)
c) \(\log_{5}(125)\)
d) \(\log_{3}(81)\)
e) \(\log_{7}(49)\)
2) Determine o valor de \(x\) nas equações abaixo:
a) \(\log_{4}(x) = 3\)
b) \(\log_{2}(x) = 5\)
c) \(\log_{5}(x) = 2\)
d) \(\log_{10}(x) = -1\)
e) \(\log_{3}(x) = 0\)
3) O pH de uma solução é dado por \(pH = -\log_{10}[H^+]\).
Se a concentração de íons \(H^+\) é \(10^{-5}\), qual o pH da solução?
4) A escala Richter mede a intensidade de terremotos com base em logaritmos.
Explique por que um terremoto de intensidade 7 é \(100\) vezes mais intenso que um de intensidade 5.
5) Esboce o gráfico da função logarítmica \(f(x) = \log_{2}(x)\). Indique:
a) Domínio
b) Imagem
c) Crescimento da função
6) Escreva a função logarítmica inversa de \(f(x) = 3^x\).
7) Resolva a equação:
$$\log(x) + \log(x - 4) = 1$$
8) Uma população de bactérias cresce segundo a função \(P(t) = 200 \cdot 2^t\).
Determine o tempo \(t\) necessário para que a população atinja \(6400\) bactérias, usando logaritmos.
9) Um capital de R\$ 5.000,00 é aplicado a juros compostos de \(8\%\) ao ano.
Após quantos anos o valor dobrará? (Use logaritmos para resolver.)
10) O tempo de meia-vida de certo elemento radioativo é de 10 anos.
Se inicialmente havia 100 g, quantos anos se passam até restar 12,5 g? (Use logaritmos.)
Habilidades trabalhadas
| Habilidade | Descrição |
|---|---|
| EM13MAT305 | Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros. |
| EM13MAT403 | Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função. |
Gabarito da atividade de logaritmos
Atividade 1:
a) 5
b) 3
c) 3
d) 4
e) 2
Atividade 2:
a) x = 64
b) x = 32
c) x = 25
d) x = 0,1
e) x = 1
Atividade 3:
pH = 5
Atividade 4:
A escala Richter é logarítmica de base 10; diferença de 2 unidades significa 100 vezes mais intensidade.
Atividade 5:
Domínio: x > 0
Imagem: todos os números reais
Crescimento: função crescente (base maior que 1)
Atividade 6:
f⁻¹(x) = log base 3 de x
Atividade 7:
log(x) + log(x - 4) = 1
→ log(x(x - 4)) = 1
→ x² - 4x - 10 = 0
→ x = 2 ± √14
Como x > 4, solução: x = 2 + √14 (aprox. 5,74)
Atividade 8:
200 · 2^t = 6400
→ 2^t = 32
→ t = 5
Atividade 9:
5000(1,08)^t = 10000
→ (1,08)^t = 2
→ t ≈ 9 anos
Atividade 10:
100 · (1/2)^(t/10) = 12,5
→ (1/2)^(t/10) = 1/8
→ t/10 = 3
→ t = 30 anos
